素数有什么作用——100个科学问题之7

海云青飞 https://www.tuenhai.com 20190610

无趣的人组成的无趣的世界

学习任何理论都要尝试把它们和实际的事物联系起来,这就是学习过程中的空间性拓展

我看到很多的教材编写者不懂这个非常重要的要点,他们只是像机器人一样把理论机械化地描述出来,并且他们的描述默认是给机器人看的,可惜他们忘记了人类不是机器人,人类的长处不是死记硬背,机器人才擅长死记硬背,人类最擅长的空间拓展,你可以把空间拓展理解为把不同的事物联系起来

数学是门有用的工具学科,数学又是一门枯燥的学科,说数学枯燥是因为讲解数学的人是十分枯燥的人,他们最擅长的事情是扼杀人们学习数学的兴趣

这个世界枯燥的人太多了,从这个意义上讲这个世界是十分无趣的,你想做一个有趣的人,就要自己去寻找乐趣,或者海云青飞 https://www.tuenhai.com 可以给你一些建议

静态的数字和动态的数字

单独的数字可以视为静态的数字,比如数字5,可以是静态的5个人,或者5只猪,或者形状象 5 字的事物

乘法可以理解为动态的数字,3×5 是3重复5次,可以形象地理解为 3 这个事物走了 5步,3可以是一个人的名字,一个名字叫 3 的人走了 5 步。发挥你的想象力,不要局限于 海云青飞 举的例子

素数的形象化理解

素数通常是这样定义的:

素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和 1 的乘积以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积

2 只能表示为 2 和 1 的乘积,所以 2 是素数

15 = 3×5
15 = 15×1

明显,15 不是素数

素数和非素数有什么不同吗?可以理解为素数内部的运动只有一种步法,非素数的内部运动有一种以上的步法

  • 素数:内部只有一种运动形式的数字
  • 非素数:内部有一种以上运动形式的数字

15是个静态数字,其内部有二种运动形式,既可以 3×5 这样运动,也可以 15 × 1 这样运动

2 是个静态数字,其内部只有一种运动形式,就是 2×1,所以 2 是素数

这个世界无趣的人太多了,你不要跟他们一样无趣,你是特殊的,你比他们聪明,你可以把让无趣变成有趣,你可以让死气沉沉变成活蹦乱跳。你是谁?你就是海云青飞 https://www.tuenhai.com 的读者

素数的应用

要求精确、唯一的场景,可以用素数


7 什么是素数?数学家为什么对它们感兴趣?

《你知道吗?——现代科学中的100个问题》

阿西莫夫著 暴永宁等译 碧声扫 https://www.tuenhai.com 整理

素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如,15=3×5,所以15不是素数;又如,12=6×2=4×3,所以12也不是素数。另一方面,13除了等于13×1以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数

有的数,如果单凭印象去捉摸,是无法确定它到底是不是素数的。有些数则可以马上说出它不是素数。一个数,不管它有多大,只要它的个位数是2、4、5、6、8或0,就不可能是素数。此外,一个数的各位数字之和要是可以被3整除的话,它也不可能是素数。但如果它的个位数是1、3、7或9,而且它的各位数字之和不能被3整除,那么,它就可能是素数(但也可能不是素数)。没有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数。你只能试试看能不能将这个数表示为两个比它小的数的乘积

找素数的一种方法是从2开始用“是则留下,不是则去掉”的方法把所有的数列出来(一直列到你不想再往下列为止,比方说,一直列到10000)。第一个数是2,它是一个素数,所以应当把它留下来,然后继续往下数,每隔一个数删去一个数,这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉。在留下的最小的数当中,排在2后面的是3,这是第二个素数,因此应该把它留下,然后从它开始往后数,每隔两个数删去一个,这样就能把所有能被3整除的数全都去掉。下一个未去掉的数是5,然后往后每隔4个数删去一个,以除去所有能被5整除的数。再下一个数是7,往后每隔6个数删去一个;再下一个数是11,往后每隔10个数删一个;再下一个是13,往后每隔12个数删一个。……就这样依法做下去

你也许会认为,照这样删下去,随着删去的数越来越多,最后将会出现这样的情况;某一个数后面的数会统统被删去因此在某一个最大的素数后面,再也不会有素数了。但是实际上,这样的情况是不会出现的。不管你取的数是多大,百万也好,万万也好,总还会有没有被删去的、比它大的素数

事实上,早在公元前300年,希腊数学家欧几里得就已证明过,不论你取的数是多大,肯定还会有比它大的素数,假设你取出前6个素数,并把它们乘在一起:2×3×5×7×11×13=30030,然后再加上1,得30031。这个数不能被2、3、5、7、11、13整除,因为除的结果,每次都会余1。如果30031除了自己以外不能被任何数整除,它就是素数。如果能被其它数整除,那么30031所分解成的几个数,一定都大于13。事实上,30031=59×509

对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数,都可以这样做。如果算出了它们的乘积后再加上1,那么,所得的数或者是一个素数,或者是比所列出的素数还要大的几个素数的乘积。不论所取的数有多大,总有比它大的素数,因此,素数的数目是无限的

随着数的增大,我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对,如5,7;11,13;17,19;29,31;41,43;等等。就数学家所能及的数来说,他们总是能找到这样的素数对。这样的素数对到底是不是有无限个呢?谁也不知道。数学家认为是无限的,但他们从来没能证明它。这就是数学家为什么对素数感兴趣的原因。素数为数学家提供了一些看起来很容易、但事实却非常难以解决的问题,他们目前还没能对付这个挑战哩

这个问题到底有什么用处呢?它除了似乎可以增添一些趣味以外,什么用处也没有

碧声注:一点用处也没有吗?……听说在密码方面很有用哩

阿西莫夫《你知道吗?——现代科学中的一百个问题》科学普及出版社 1984年

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